ВІННИЦЬКА
ЗАДАЧА ПРО МАГІЧНІ НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА.
Деяке натуральне число називається магічним
по-вінницьки, якщо будь-яка
перестановка цифр цього числа, утворює число, що ділиться на суму своїх цифр.
Доведіть, що сума усіх часток, що отримуються в результаті ділення магічних натуральних чисел, які утворені із
деякого магічного по-вінницьки перестановкою його n-цифр, на суму
своїх цифр є числом, що ділиться на число вигляду 111…1, де кількість одиниць дорівнює
кількості цифр даного магічного по-вінницьки числа.
Доведення. Метод математичної індукції.
Перевіримо базу індукції. Зрозуміло, що
усі одноцифрові натуральні числа є магічними по-вінницьки. Для них виконується умова і наслідок задачі.
Нехай маємо деяке натуральне магічне по-вінницьки двоцифрове число. До
речі існують такі двоцифрові магічні числа:
10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40,
42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80,
84, 90.
Перевіримо,
як виконується наслідок задачі: 10:1+1:1=11, 12:3+21:3=4+7=11,
18:9+81:9=2+9=11, 24:6+42:6=4+7=11, і так далі.
Тепер почнемо аналізувати
трицифрові магічні числа. Нехай {x; y; z}- цифри трицифрового
натурального числа, що володіє зазначеною магічністю. Натуральні числа:
{xyz; xzу; yхz; ухz;
zyх; уху} - це множина магічних по-вінницьки чисел. Сума усіх часток, що отримуються в результаті
ділення магічних натуральних чисел, на
суму своїх цифр є числом
(xyz+ xzу+yхz+ухz+zyх+ zху):(z+х+у) = (100x+10y+z+ 100x+10z+у+100y+10х + z+100у+10х+z+100z+10y+х+ 100у+10х+у ):(z+х+у) =222(z+х+у): (z+х+у)=222=2*111.
Наслідок задачі виконується.
На
основі бази індукції, припустимо, що справедливе твердження задачі для k-цифрового магічного натурального
числа, яке отримано набором цифр {х1; х2; … хk}.
Доведемо, , що справедливе твердження задачі для (k+1)-цифрового
магічного натурального числа. Нехай магічне натуральне числа, утворене набором
цифр {х1; х2; … хk; хk+1 }. Нехай, С(х1; х2; … хk; хk+1) - сума усіх
магічних чисел, які утворені набором цифр {х1; х2; … хk; хk+1 }.
Тоді С(х1; х2; … хk; хk+1):(х1+ х2+ … хk+ хk+1) =
= (С(х1; х2; … хk) + 111….1*хk+1):(х1+ х2+ … хk + хk+1) =
=(((k-1)!)*111….1*(х1+ х2+ … хk) + 111….1*хk+1):(х1+ х2+ … хk + хk+1)= =(k!)*111….1*(х1+ х2+ … хk+ хk+1) :(х1+ х2+ … хk + хk+1)= (k!)*111….1
що і треба було довести.
Немає коментарів:
Дописати коментар