Алгоритм утворення магiчного квадрату 3х3 на сумах та на добутках.

Утворення магічних квадратів  на сумах мовою Pascal

Задача 1. Записати алгоритм, який виводить  на екран  випадковий  фрагмент 
дев′ятичленної арифметичної прогресії у вигляді магічного квадрату розміром 3х3   з магічною сумою та магічним добутком.

Технічні умови.  Програма на мові Паскаль випадковим чином задає два числа: 1)перший член; 2) знаменник для фрагменту арифметичної прогресії.  Члени цієї прогресії,  це двоцифрові цілі числа.

Приклад. Виведення результату.

Перший випадковий  член арифметичної  прогресії: a1 =1

Випадковий знаменник  арифметичної  прогресії:  d =4

Магічна сума магічного квадрату:   S=51

Магічний квадрат:

a[1; 1]:= 13    a[1; 2]:= 33    a[1; 3]:= 5   

a[2; 1]:= 9    a[2; 2]:= 17    a[2; 3]:= 25   

a[3; 1]:= 29    a[3; 2]:= 1    a[3; 3]:= 21   

Розв′язання.

Якщо дано два довільних випадкових числа а та d, що задають  арифметичну прогресію, то отримаємо магічний квадратів 3х3 з магічною сумою 3(а+4d). Із одного шаблона 3х3 можна отримати вісім різних шаблонів  магічних квадратів 3х3 на сумах. наводимо приклади тільки двох шаблонів.

а + 3d	а + 8d	а + d
а + 2d	а + 4d	а + 6d
а + 7d	а	а + 5d

n + 2m	n + 7m	n + 6m
n+ 9m	n + 5m	n + m
n + 4m	n + 3m	n + 8m

Утворимо магічні квадрати 3х3 на добутках.Перетворимо отримані магічні квадрати зх3 на сумах таким чином. Вважатимемо, що число у кожній клітинці першого магічного квадрату є показником степеня з основою  р і число у кожній клітинці другого магічного квадрату є показником степеня з основою  g.

 Отримаємо нові квадрати, для яких зникла   магічна   сума, тобто  не виконується, проте виник магічний добуток:

ра + 3d	ра + 8d	ра + d
ра + 2d	ра + 4d	ра + 6d
ра + 7d	ра	ра + 5d

gn + 2m	gn + 7m	gn + 6m
gn+ 9m	gn + 5m	gn + m
gn + 4m	gn + 3m	gn + 8m

Тепер виконаємо множення тільки тих степенів, які розташовані у відповідних клітинках.  Тобто, накладемо ці два квадрати одне на один, і перемножимо ті степені, які стоять в одній клітинці.

ра + 3d gn + 2m	ра + 8d gn + 7m	ра + d gn + 6m
ра + 2d gn+ 9m	ра + 4d gn + 5m	ра + 6d gn + m
ра + 7d gn + 4m	ра gn + 3m	ра + 5d gn + 8m

Останній квадрат можна використати як шаблон для утворення безлічі квадратів з магічним добутком. При цьому, варто зазначити, що числа р і g можна накладити різні умови:  простоти, парності, непарності, кратності, подільності.

Послідовність  із дев′яти цілих чисел задається лінійною формулою: а_n=a + d(n-1).  Цілі числа а та  d  задаються випадковим чином, в межах від -100 <а <100; -100 <d <100.  Запишемо алгоритм, який виводить  на екран у вигляді  таблиці  магічний квадрат розміром 3х3   з магічною сумою  3*(a1+4*d))   для  послідовності {a_n}

program anxn;

const  n=3;

var       a: array[1..n,1..n] of integer;     c: array[1..n,1..n] of integer;   b: array[1..n*n] of integer;

d,a1, m,k,p,i, l, j: integer;   

begin     a1:=round(random*20-10) ;  {a1 - перший член арифмет. прогресії}

d:= round(random*20-10); {d - знаменник  арифмет. прогресії}

writeln('  '); writeln('  ');writeln('a1 =',a1);   writeln(' d =',d); writeln('  Магічна сума  S=',3*(a1+4*d));

a[1,1]:= a1 + 3*d;       a[1,2]:=  a1 + 8*d;      a[1,3]:=  a1 + 1*d;

a[2,1]:=  a1 + 2*d;       a[2,2]:= a1 + 4*d;      a[2,3]:=  a1 + 6*d;

a[3,1]:= a1+ 7*d;       a[3,2]:= a1 + 0*d;      a[3,3]:= a1 + 5*d;

for i:=1 to n do  begin writeln('');

for j:=1 to n do  begin

write('a[',i, '; ',j,']:= ',a[i,j], '    ');

end; {writeln('   ')};  end;  

end.

Магічні квадрати 3х3 на  добутках

Послідовність  із дев′яти цілих чисел задається лінійною формулою: а_n=a + d(n-1).  Цілі числа а та  d  задаються випадковим чином, в межах від 0 <а <20; 0 <d <20. Послідовність  із дев′яти цілих чисел задається нелінійною формулою: с_n=р^{a + d(n-1)}. Ціле число р задається випадковим чином, в межах від 0 <р <10. Записати алгоритм, який виводить  на екран у вигляді двох таблиць два магічні квадрати розміром 3х3   з магічною сумою     для  послідовності {a_n}  та магічним добутком для послідовності  {c_n}  .

Технічні умови.  Програма на мові Паскаль випадковим чином задає три числа: 1) a перший член арифметичної прогресії; 2) d  різницю арифметичної прогресії. 3)p - знаменник геометричної прогресії.  Програма генерує дев′ять членів арифметичної прогресії за формулою а_n=a + d(n-1).  Це будуть одноцифрові та двоцифрові цілі числа, які мають утворити магічний квадрат розміром 3х3 на сумах. Програма генерує дев′ять членів геометричної прогресії за формулою с_n=р^{a + d(n-1)}.  Це багатоцифрові цілі числа, які утворюють магічний квадрат розміром 3х3 на добутках. Магічні квадрати виводяться у вигляді двох таблиць.

Приклад. Виведення.

Випадковий преший член: a1 =2

Випадковий знаменник  прогресії: d =1

  Магічна сума  S=18

Основа для степенів   p=2

  Випадковий магічний квадрат на сумах

a[1; 1]:= 5    a[1; 2]:= 10    a[1; 3]:= 3   

a[2; 1]:= 4    a[2; 2]:= 6    a[2; 3]:= 8   

a[3; 1]:= 9    a[3; 2]:= 2    a[3; 3]:= 7   

  Випадковий магічний квадрат на добутках

c[1; 1]:= 32    c[1; 2]:= 1024    c[1; 3]:= 8   

c[2; 1]:= 16    c[2; 2]:= 64    c[2; 3]:= 256   

c[3; 1]:= 512    c[3; 2]:= 4    c[3; 3]:= 128   

  Магічний добуток  Dіагональ=262144

  Магічний добуток  рядок1=262144

  Магічний добуток  стовпчик1=262144

Розв′язання.  Програма  на мові Паскаль, що генерує магічні квадрати на сумах, використовуючи  випадкові фрагменти дев'яти членів  арифметичної прогресії  та генерує магічні квадрати на добутках, використовуючи   випадкові фрагменти дев'яти членів  геометричної прогресії.  

program magic_anxn;

const  n=3;

var  a: array[1..n,1..n] of integer;     c:array[1..n,1..n] of  longint;   b: array[1..n*n] of integer;

d,a1, m,k,p,i, l, j: integer;

begin     a1:=abs(round(random*1+1)) ;  {a1 -  перший член арифм. прогресії}

d:= abs(round(random*1+1)); {d -  різниця арифм. прогресії}

p:=abs(round(random*1+1)); {p -  знаменник геометр. прогресії}

writeln('  '); writeln('  ');writeln(' перший член арифм. прогресії: a1 =',a1);

writeln(' Різниця арифм. прогресії d =',d);

writeln(' Магічна сума  S=',3*(a1+4*d));

writeln(' Знаменник геометр. прогресії p=',p);

a[1,1]:=a1+3*d;       a[1,2]:=a1+8*d;      a[1,3]:=a1+1*d;

a[2,1]:=a1+2*d;       a[2,2]:=a1+4*d;      a[2,3]:=a1+6*d;

a[3,1]:=a1+7*d;       a[3,2]:=a1+0*d;      a[3,3]:=a1+5*d;

 writeln('  Магічний квадрат на сумах ');

for i:=1 to n do  begin writeln('');

for j:=1 to n do  begin

write('a[',i, '; ',j,']:= ',a[i,j], '    ');

end; {writeln('   ')};  end;  writeln('');

 writeln('  Магічний квадрат на добутках ');

for i:=1 to 3 do  begin

for j:=1 to 3 do  begin

c[i,j]:=1;  end; end;

for k:=1 to 3 do  begin

for m:=1 to 3 do  begin

for i:=1 to a[k,m] do  begin c[k,m]:=c[k,m]*p;end; end; end;

for i:=1 to n do  begin writeln('');

for j:=1 to n do  begin

write('c[',i, '; ',j,']:= ',c[i,j], '    ');

end; {writeln('   ')};  end;  writeln('');

writeln('  Магічний добуток по головній діагоналі =',c[1,1]*c[2,2]*c[3,3]);

writeln('  Магічний добуток по  першому рядку ==',c[1,1]*c[1,2]*c[1,3]);

writeln('  Магічний добуток по першому стовпцю=',c[1,1]*c[2,1]*c[3,1]); end.

Перевірка магічності квадрату на сумах.
Програма  на мові Паскаль, що перевіряє умову магічності квадратів nxn на сумах.

program kvadremagigeskiyperevirka;

Uses crt;

 Var

 a:array[1..10,1..10] of integer;

 i,j,n,s,w,k,q:integer;

begin

clrscr;

write('Введіть порядок квадрату nxn: ');

read(n);

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

 begin

write('Введіть  наступний елемент квадрату: ');

        write('A(',j,',',i,') = ');

        read(a[j,i]);

      end;

     s:=0;

    for i:=1 to n do

      s:=s+a[1,i];

    k:=1;

   for i:=1 to n do

      begin

         w:=0; q:=0;

        for j:=1 to n do

          begin

            w:=w+a[j,i];

            q:=q+a[i,j];

          end;

        if (s<>w) or (q<>s) then k:=0;

       end;

     if k=0 then write(' Цей квадрат не  магічний!')

    else write( Цей квадрат  магічний!!!');

     readln;

    readln;

end.

Теоретичний матеріал

Магічні квадрати 3х3.

Класичний магічний квадрат 3х3

Спробуємо спочатку розмістити в квадратній таблиці 3х3,  натуральні числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова. 

 Зрозуміло, що якщо додати усі дані то отримаємо  45. Це число вказує потроєну суму кожного рядка або кожного стовпця. Тому 45 розділимо на 3, отримаємо число 15, яке називають для числового квадрату 3х3 магічна константа . Отже,  сума по горизонталям, по вертикалям, по обом діагоналлям у числовому квадраті 3х3 рівна 15.  Звертаємо увагу, що 9+1 = 8+2 = 7+3 = 4 + 6 = 10, отже числа розділилися на пари, і без пари залишилося тільки число 5.  Таким чином, середнє серед цих чисел  повинно стояти в центральній клітинці. Тоді в сусідній з нею клітинках повинні стояти або пара непарних чисел, або пара парних чисел. В кутових клітинках повинні  стояти парні числа. Знайшовши один  такий набір можна отримати ще вісім  таких квадратів за допомогою повороту навколо центральної клітинки.

                                  

	5

4		2
	5
8		6

4	9	2
3	5	7
8	1	6

	9
3	5	7
	1

                                                                         

   

В загальному випадку магічним квадратом nxn є  розташування  чисел від a₁ до a_n×n у вигляді квадрату так, щоб  сума  по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова, яку називають магічною сумою або магічною константою. 

Для кожного значення n існує тільки одна магічна сума s, яку легко знайти.

Покажемо, як це зробити. Так як сума в кожному стовпчику  рівна  s, а стовпчиків рівно n,  то сума усіх чисел в магічному квадраті рівна n∙s. Проте, якщо рахувати іншим способом суму натуральних чисел від  1 до n², то

1+ 2 + 3 + 4 +… +  n² = 0,5(1+ n²)n².

Це випливає з формули для сум n членів арифметичної прогресії з початковим числом 1 та різницею 1.

Таким чином отримаємо рівність

n∙s = 0,5(1+ n²)n².

Поділивши обидві частини рівності на n:

s = 0,5(1+ n²)n.

Магічна сума  для магічного квадрату від 1 до n визначається однозначною формулою s = 0,5(1+ n²)n.

Варто зазначити, що не існує магічного квадрату для  n = 2.

Існує всього 8 варіантів квадратів  3х3   з натуральних чисел від 1 до 9.

2	7	6		2	9	4		4	3	8		4	9	2
9	5	1		7	5	3		9	5	1		3	5	7
4	3	8		6	1	8		2	7	6		8	1	6
6	1	8		6	7	2		8	1	6		8	3	4
7	5	3		1	5	9		3	5	7		1	5	9
2	9	4		8	3	4		4	9	2		6	7	2

Розглянемо самі прості елементарні магічні квадрати будь–якого простого натурального послідовного ряду чисел, чи парного послідовного ряду чисел, чи не парного послідовного ряду чисел, з 9–ти клітин.

Послідовний            Послідовний                   Послідовний              Послідовний          Послідовний

ряд з нулем             ряд без нуля                 ряд непарних                               ряд парних з           ряд парних

                                                                чисел                      нулем                         чисел

      0,1,2                           1,2,3                                 1,3,5                            0,2,4                          2,4,6

2	0	1		3	1	2		5	1	3		4	0	2		6	2	4
0	1	2		1	2	3		1	3	5		0	2	4		2	4	6
1	2	0		2	3	1		3	5	1		2	4	0		4	6	2

Вертикаль                   Вертикаль                 Вертикаль                   Вертикаль                    Вертикаль

Діагональ     =3           Діагональ   =6           Діагональ   =9            Діагональ     =6            Діагональ     =12

Горизонталь                Горизонталь             Горизонталь               Горизонталь                 Горизонталь

Як бачимо з 1 і 4 квадратів, нуль збалансовується в послідовному натуральному, та парному послідовному ряду чисел. Отже виходить, що нуль є парним числом.

Цей принцип діє для будь–якого послідовного ряду чисел із 9–ти клітин, з 9–ти чисел.

Кожне число в магічному 9–ти клітинному квадраті збалансовується з проміжним числом, яке рівновіддалене від центру послідовного ряду чисел, потроєний добуток якого становить константу квадрату.

0,1,2,3,4,5,                      1,2,3,4,5,6,                      0,2,4,6,8,                 2,4,6,8,10                   1,3,5,7,9,

6,7,8                                    7,8,9                           10,12,14,16             12,14,16,18                11,13,15,17

послідовний                   послідовний            послідовний            послідовний            послідовний

ряд  чисел                     ряд 9–ти                    ряд 9–ти                ряд парних                ряд непарних

з нулем                         чисел                      парних чисел              чисел                          чисел

нулем

7	2	3		8	3	4		14	4	6		16	6	8		15	5	7
0	4	8		1	5	9		0	8	16		2	10	18		1	9	17
5	6	1		6	7	2		10	12	2		12	14	4		11	13	3

Вертикаль                   Вертикаль                 Вертикаль                   Вертикаль                    Вертикаль

Діагональ     =12         Діагональ   =15          Діагональ   =24         Діагональ     =30           Діагональ     =27

Горизонталь                Горизонталь             Горизонталь               Горизонталь                 Горизонталь

За кожним непарним числом іде парне, перед одиницею стоїть нуль, отже нуль є парне число, тим більше, що він безболісно і природно вписується в магічні квадрати, збалансовується з числами.

                З І і ІІІ магічних квадратів видно збалансованість магічного квадрата, в якому є нуль, і знову таки нуль є парним числом. Це видно з послідовного і парного ряду чисел. Будь–яке число в магічному квадраті має своє місце для збалансування. Можна мати квадрат з 9–ти клітин і розмістити в ньому послідовний ряд з 9–ти чисел, але квадрати не будуть магічні, тобто в усіх напрямках не збалансовані, сума цифр в усіх напрямках по горизонталі, вертикалі, діагоналі не буде сталим однаковим числом.

        Не магічні квадрати                                              Магічні квадрати

10	1	7	2		7	6	2		2	9	4		8	3	4		4	3	8
15	6	5	4		1	5	9		7	5	3		1	5	9		9	5	1
20	8	3	9		8	4	3		6	1	8		6	7	2		2	7	6

                                  16  15    14

Вертикаль                          Вертикаль                           Вертикаль                 Вертикаль                  Вертикаль

Діагональ     =15              Діагональ =15                   Діагональ=15              Діагональ=15              Діагональ =15

Горизонталь                      Горизонталь                       Горизонталь              Горизонталь                Горизонталь

Чому квадрати дістали назву магічні, тобто, життєдайні? У магічному квадраті повинен бути здійснений цілий ряд умов для забезпечення повноти ідеї. Розглянемо самий елементарний 9–ти клітинний квадрат послідовного натурального ряду послідовних чисел, парних, або непарних чисел з нулем, або без нуля. Цифри послідовного 9-ти числового ряду треба розмістити в магічному квадраті так, щоб середнє число 5 стало в центрі 9-ти клітинного ряду, а всі інші числа навкруги нього так, щоб всі рівновіддалені від середнього числа були спаровані і поставлені так, щоб у будь-якому напрямку – по вертикалях, горизонталях, діагоналях становили стале однакове число – константу, яка обчислюється потроєним добутком центрального числа.

В магічному квадраті треба забезпечити константу в усіх напрямках. На основі магічних квадратів напевне створені молекули різних речовин, але там вони розташовані в об’ємному складному магічному квадраті. Склад хімічних елементів, їх вагу мало знати, треба вміти їх з’єднати в певній послідовності, при певній температурі в певній кількості.

Достатньо змінити послідовність, температуру, кількість, вагу хімічних елементів і буде інша речовина, інша молекула, інша тварина чи рослина. Тому так багато рослин, тварин, птахів, комах у світі. Це подібно і в нашій мові, достатньо змінити один звук, чи поміняти місцем звуки, чи додати іншу букву, буде інше слово, інше значення.

3		4

Розв’яжемо  наступну задача.  Розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 3 та 4,  числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови:

1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова;

2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих.

1	9	2
6	8	5
3	7	4

Спочатку будемо заповнювати таблицю по горизонталі, якщо  цифру 9 поставити в центр таблиці 3х3, то не отримаємо розташування так, щоб виконувалась умова задачі. У випадку, коли цифра 8 стоїть у центральній клітинці, отримаємо розв’язок задачі. Для цього спочатку центральну вертикаль таблиці зверзу вниз числами 9,8,7, потім заповнюються крайні клітинки центральної горизонталі числами 6 та 5 так, щоб для двох нижніх  квадратів 2х2 сума чисел дорівнювала 24. В кінці достатньо правильно розташувати цифри 1 та 2 так, щоб для двох верхніх квадратів 2х2 сума чисел дорівнювала 24.

7		8

А тепер спробуємо розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 7 та 8,  числа від 1 до 6 і 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума  чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найменшим із можливих.

Заповнювати будемо таблицю по горизонталі. Якщо  цифру 3 поставити в центр таблиці   3х3,  тоді  не  отримаємо розташування так, щоб виконувалась умова задачі.

1	9	2
6	4	5
7	3	8

 У випадку, коли цифра 4 стоїть у центральній клітинці, маємо розв’язок задачі. Для цього спочатку центральну вертикаль таблиці зверзу вниз числами 9, 4, 3, потім заповнюються крайні клітинки центральної горизонталі числами 6 та 5 так, щоб для двох нижніх квадратів 2х2 сума чисел дорівнювала 20. В кінці достатньо правильно розташувати цифри 1 та 2 так, щоб для двох верхніх квадратів 2х2 сума чисел дорівнювала 20.

Властивості магічного квадрату 

   Усіх можливих магічних квадратів 3х3, утворених натуральними числами від 1 до 9 рівна 8.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Доведення:

Знайшовши один  такий магічний квадрат 3х3 можна отримати ще вісім  таких квадратів за допомогою поворотів навколо центральної клітинки і дзеркальних відображень відносно осей  симетрії.

a	b	c
d	e	f
g	h	i

   Число, що стоїть у центрі магічного    квадрата 3х3, є середнім арифметичним усіх чисел квадрата.
Доведення:
Нехай  маємо магічний квадрат. Тоді  

 a + b + c = g + h + i = a + e + i = b + e + h = c + e + g = S/3,

де S - сума всіх чисел у квадраті; Додавши почленно три останні вирази, маємо (a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)=3e+(a+b+c)+(g+h+i)=3e+2S/3=S;

Звідси 3e =S/3, e=S/9.
Властивість для магічних квадратів nхn. Середнє арифметичне усіх чисел магічного квадрату nхn рівне магічному числу поділеному на n.

Доведення:
Нехай  маємо магічний квадрат nхn з магічною константою   М  і сумою усіх чисел S. Тоді  сума в кожному рядку рівна M = S/n. Обидві частини рівності   помножимо на 1/ n, отримаємо M/n = S/n² , де S – сума усіх чисел магічного квадрату , n² – кількість чисел магічного квадрату, S/n²  – середнє арифметичне усіх чисел магічного квадрату nхn .

Зауваження. Не обов’язково елементом магічного квадрату повинно бути число, що рівне середньому арифметичному усіх чисел магічного квадрату. Наприклад. Магічний квадрат 4х4 з натуральних чисел від 1 до 16 має середнє арифметичне 136:16 = 8,5, це число не входить до зазначеної множини чисел даного магічного квадрату.

Зауваження. Не обов’язково сума, різниця, добуток чисел, що розташовані у відповідних клітинках двох магічних квадратів є магічним квадратом.
Проблемне питання: Знайти магічний квадрат, в якому всі числа - точні квадрати, Зауваження. Перебір  на комп'ютері всіх варіантів до двох мільярдів – не дав позитивної відповіді. Як би довести, що таких квадратів 3х3 справді немає?

Спробуйте розв’язати декілька задач.

1. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 1 до 9 так, щоб виконувалась така умови: 1) по усіх рядках, по усіх колонках сусідні(послідовні) числа не стоять поряд; 2) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні ; 3) сума чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні.

2. Розмістити в таблиці 3х3  числа від 1 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була різна; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих; 3) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні і найбільші із можливих; 4) суми чисел по центральному рядку та  центральному стовпчику рівні  і найменші із можливих.

3. Заповнити таблицю 1х21, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 та дотримуючись таких умов: 1) будь-які дві сусідні цифри в таблиці не рівні; 2) всі двоцифрові числа, що утворені двома сусідніми цифрами, відрізняються між собою, якщо читати їх зліва направо.

4. Розставте числа від 1 до 8 у зафарбованих клітинках таблиці 3х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають спільну вершину.

5. Розставте двоцифрові числа від 1, 2,  3,  4, 5 у зафарбованих клітинках таблиці 4х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають спільну сторону і  будь-яке двоцифрове число не містить однакових цифр.

6. Розмістити в таблиці 3х3,  числа від 3, 6, 9, 12, …, 27  так, щоб виконувалась така умови: сума  по усіх рядках, по усіх колонках  була однакова.

8	2	7
1	9	4
6	3	5

Відповіді. 1.                                  

   2.

                                                                          

7	2	8
1	9	4
5	3	6

                                        

                        

3.

1

2

1

3

1

4

1

5

2

3

2

4

2

5

3

4

3

5

4

5

1

	6	4
2	8	1	7
	5	3

4.                                                 

5.

14	12	15	13
24	21	25	23
31	35	32	34
41	43	45	42

12	27	6
9	15	21
24	3	18

 6.

                   

Складання магічного квадрату з ланцюгів арифметичних  прогресій

Відома вже давно чудова зграйка з дев'яти простих чисел:

199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879.

Вона є арифметичною прогресією. Крім того,  дана зграйка з дев'яти простих чисел приваблива здатністю розміститися в дев'яти клітках квадрата 3x3 так, що утворюється магічний квадрат з константою, рівній різниці двох простих чисел: 3119-2.  Набір з дев'яти простих чисел: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 – приваблива не тільки тим, що вона є арифметичною прогресією з різницею 210, але і цікавою здатністю. Наступний, десятий член даної прогресії 2089 – також просте число. Якщо видалити із зграйки число 199, але включити 2089, то і в цьому складі зграйка може утворити магічний квадрат – тема для пошуку.

1669	199	1249
619	1039	1459
829	1879	409

Зауваження про арифметичну прогресію саме по собі дуже цікаво. Справа в тому, що з кожних дев'яти послідовних членів будь-якої арифметичної прогресії натуральних чисел можна скласти магічний квадрат.

      Насправді, нехай дана арифметична прогресія:

а,  а + d,  а + 2d,  а + 3d,  а + 4d, а + 5d,  а + 6d,  а + 7d,   а + 8d,

де а і d  натуральні. Розташуємо ці числа так, як показано в квадратній таблиці 3х3.

а + 3d	а + 8d	а + d
а + 2d	а + 4d	а + 6d
а + 7d	а	а + 5d

Неважко бачити, що вийшов магічний квадрат, константа С якого рівна 3а + 12d. Дійсно, сума чисел в кожному рядку, в кожному стовпці і по кожній діагоналі квадрата рівна 3а + 12d.

Якщо з кожним  числом попередньої таблиці послідовно виконати такі дії:

1) додати d;

4d	9d	2d
3d	5d	7d
8d	d	6d

2) відняти а;

3) поділити на d,

то після цих перетворення отримаємо магічний квадрат з чисел від 1 до 9:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

а + 4d	а + 9d	а +  2d
а + 3d	а + 5d	а + 7d
а + 8d	а + d	а + 6d

Зрозуміло, що виконавши над останнім  магічним квадратом  ті ж самі перетворення для кожного числа, але у зворотному порядку, отримаємо початковий магічний квадрат.

Складання магічного квадрату з ланцюгів простих чисел

Питання про магічні квадрати з простими числами розглядається у відомій книзі М. Гарднера "Математичне дозвілля" (М.: Мир, 1972). Там на ст. 420 наведений, зокрема, магічний квадрат:

67	1	43
13	37	61
31	73	7

 При цьому стверджується, що задіяні одні тільки прості числа. Насправді в квадраті тільки вісім простих чисел, оскільки число 1 не є простим.

Пропоную  магічний квадрат, складений з дев'яти простих чисел, його константа  С = 267.

71	167	29
47	89	131
149	11	107

Взагалі, скласти магічний квадрат з одних простих чисел - завдання не з легких. Тим більше захоплення викликають магічні квадрати з простих чисел з однією і тією ж останньою цифрою.

Магічний квадрат складений з простих чисел з останньою цифрою "1".

571	1051	181
211	601	991
1021	151	631

Магічний квадрат складений з простих чисел з останньою цифрою "3".

823	1093	643
673	853	1033
1063	613	883

Магічний квадрат складений з простих чисел з останньою цифрою "7".

307	607	97
127	337	547
577	67	367

Магічний квадрат складений з простих чисел з останньою цифрою "9".

1669	199	1249
619	1039	1459
829	1879	409

А що ж арифметична прогресія в цих магічних квадратах? На жаль, в останніх чотирьох магічних квадратах нею довелося пожертвувати?

Якщо числа кожного квадрата переписати у вигляді зростаючої послідовності і розглянути різниці між кожним подальшим і попереднім, то ми побачимо, що рівність різниць регулярно (!) порушується в кожній третій і шостій парі.

У загальному випадку: нехай

а₁, а₂,  а₃, а₄, а₅, а₆,  а₇, а₈,  а₉ –

зростаюча послідовність простих чисел, які можна розставити у вигляді магічного  квадрата.  Чи вірно,  що  для такої  послідовності виконується:

а₂ – а₁ = а₃ – а₂ = а₅– а₄ = а₆ – а₅  = а₈  – а₇ = а₉ – а₈,

 а₄ – а₃ =  а₇ – а₆ = k(а₂ – а₁),

де   k -  число натуральне, не рівне 1?

Іншими словами, чи вірно, що в описаній вище послідовності чисел в двох випадках порушується закономірність арифметичної прогресії: на третьому кроці (а₄ – а₃) і на шостому кроці а₇ – а₆?

Наприклад, перепишемо  числа  магічного  квадрата

67	1	43
13	37	61
31	73	7

в зростаючому порядку: 1, 7, 13, 31, 37, 43, 61, 67,73.  Легко бачити, що

7-1 =13 - 7 =37 - 31 = =43 - 37=67- 61=73 - 67=6,

але     

31 – 13 = 61 - 43 = 18=3×6.

Надаємо читачам  можливість самим перевірити те, що помічена закономірність виконується для всіх наведених нами магічних квадратів. Чи випадковість це?

Задача для самостійного осмислення.

2	3	35
5	7	6
21	10	1

У клітинки квадрата 3х3 запишіть різні натуральні числа так, щоб 6 добутків (по рядках і стовпчиках) були рівні між собою.

Зауваження. На другій таблиці наведено приклад більш загальної конструкції (a, b, c, d – взаємно прості числа (не рівні 1), всі необхідні добутки рівні a, b, c, d, e, f  - різні взаємно прості числа).

Cкладання магічного квадрату 3х3 на добутках чисел

Складемо числовий квадрат 3х3 з дев’яти натуральних (менших 40) так, щоб добуток чисел по кожному рядку, по кожному стовпчику по кожній діагоналі дорівнював одному числу.

Спочатку складемо квадрат з трьох цілих чисел  0, 1, 2.

1	0	2
2	1	0
0	2	1

Кожне число цього магічного квадрату будемо вважати показником для степенів з основами два та три.

21	20	22
22	21	20
20	22	21

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює 8.

31	30	32
32	31	30
30	32	31

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює 27. Цей квадрат повернемо на 180 градусів відносно центра і поклітинково перемножимо з числами попереднього квадрату з основами два. Отримаємо потрібний нам квадрат.

3221	3020	3122
3022	3121	3220
3120	3222	3021

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює числу 27×8= 216 = 6³.

18	1	12
4	6	9
3	36	2

Можна скласти ще цілу множину подібних квадратів, у яких магічний добуток є кубом натурального числа,  якщо використати такий шаблон магічного квадрату для довільних натуральних чисел n i m, k: 

nk+2mk+1	nkmk	nk+1mk+2
nkmk+2	n k+1m k+1	nk+2mk
n k+1mk	nk+2mk+2	nkm k+1

Користуючись цим шаблоном, спробуйте самостійно утворити  декілька подібних числових квадратів 3х3.

Наводимо ще один спосіб утворення магічного квадрату для добутків чисел.

Якщо дано два довільних магічних  квадрати 3х3

а + 3d	а + 8d	а + d
а + 2d	а + 4d	а + 6d
а + 7d	а	а + 5d

n + 3m	n + 8m	n + m
n+ 2m	n + 4m	n + 6m
n + 7m	n	n + 5m

Перетворимо ці магічні таким чином. Вважатимемо, що число у кожній клітинці першого магічного квадрату є показником степення з основою  р і число у кожній клітинці другого магічного квадрату є показником степення з основою  g.

 Отримаємо нові квадрати, для яких зникла   магічна   сума, тобто  не виконується, проте виникла магічний добуток:

ра + 3d	ра + 8d	ра + d
ра + 2d	ра + 4d	ра + 6d
ра + 7d	ра	ра + 5d

gn + 3m	gn + 8m	gn + m
gn+ 2m	gn + 4m	gn + 6m
gn + 7m	gn	gn + 5m

Тепер виконаємо множення тільки тих степенів, які розташовані у відповідних клітинках.  Тобто, накладемо ці два квадрати одне на один, і перемножимо ті степені, які стоять в одній клітинці.

ра + 3d gn + 3m	ра + 8d gn + 8m	ра + d gn + m
ра + 2d gn+ 2m	ра + 4d gn + 4m	ра + 6d gn + 6m
ра + 7d gn + 7m	ра gn	ра + 5d gn + 5m

Останній квадрат можна використати як шаблон для утворення безлічі квадратів з магічним добутком. При цьому, варто зазначити, що числа р і g можна накладити різні умови:  простоти, парності, непарності, кратності, подільності.

Супермагічний квадрат

Магічний квадрат nxn називається супермагічним, якщо в ньому є внутрішній центральний квадрат (n-2)x(n-2) з усіма умовами  магічного  квадрату.

Метод побудови супермагічних квадратів нарощуванням(метод Порфірія).

Нехай ми маємо магічний квадрат 3х3, наприклад:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Побудуємо з нього супермагічний квадрат 5х5. У центрі такого квадрата має бути магічний квадрат 3х3 з сумою 65·(3/5)=39. Додамо до кожного числа вихідного квадрату 8, і поставимо його в центр.

	12	17	10
	11	13	15
	16	9	14

Тепер треба розмістити числа 1-8 і 18-25 так, щоб сума чисел на одній вертикалі, горизонталі або діагоналі була 26, і щоб на кожній стороні квадрата утворилася магічна сума 65.
Простим підбором (варіантів небагато) отримаємо

1	22	20	19	3
2	12	17	10	24
21	11	13	15	5
18	16	9	14	8
23	4	6	7	25

Так само можна отримати супермагічний квадрат 7х7, і т.д.